Chapter 12

例 5.13

X_1^2\sim\chi_1^2

\Sigma_{i=2}^nX_i^2\sim\chi_{n-1}^2

\frac{X_1^2}{\frac{\Sigma_{i=2}^n X_i^2}{n-1}}\sim F_{1,n-1}

例 5.14

Cov(X_1-X_2,X_1+X_2)=0

Var(X_1-X_2)=Var(X_1+X_2)=2

\frac{(X_1-X_2)^2}{(X_1+X_2)^2}=\frac{\frac{(X_1-X_2)^2}2}{\frac{(X_1+X_2)^2}2} \sim F_{1,1}

例 5.15

Var(X_1-2X_2)=20

Var(3X_3-4X_4)=100

a=\frac1{20},b=\frac1{100}

例 5.16

记 Var(X)=\sigma^2.

Var(Y_1-Y_2)=Var(Y_1)+Var(Y_2)=2\sigma^2

S^2=\frac12(X_7^2+X_8^2+X_9^2-3Y_2^2)\sim\chi_2^2

\frac{\sqrt2(Y_1-Y_2)}S\sim t_2

例 5.20

Y=\frac{\frac{X_1^2+X_2^2+\ldots+X_{10}^2}{40}}{\frac{X_{11}^2+X_{12}^2+\ldots+X_{15}^2}{20}}=F_{10,5}

例 7.4

\overline x=2.1322(cm)

(1)

30(\overline x-\mu)\sim N(0,1)

d=0.0548

置信区间为 [2.077,2.187]

(2)

S=2.4145

\frac{3(\overline x-\mu)}{S}\sim t_8

d=\frac{2.4145}3t_8(0.05)

置信区间为 [\overline x-d,\overline x+d]

例 7.6

\Phi(0.025)=1.96

\frac{\sqrt n}{5}(3-\mu)\sim N(0,1)

\frac{\sqrt n}5\times2>1.96

n>24.01, 即 n\geq25.

例 7.16

s^2=148.92

\overline{(x-\mu)^2}=164.29

(1)

10\overline{(X-\mu)^2}\sim\Chi_{10}^2

\sigma^2\in[\frac{10\times164.29}{\chi_{10}^2(0.025)},\frac{10\times164.29}{\chi_{10}^2(0.975)}]

(2)

9S^2\sim\Chi_{9}^2

\sigma^2\in[\frac{9\times148.92}{\chi_{9}^2(0.025)},\frac{9\times148.92}{\chi_{9}^2(0.975)}]

例 7.19

X_{(n)} 的分布律为 F(X_{(n)})=1-(1-\frac{X_{(n)}}\theta)^n

P(X_{(n)}<\theta<c_nX_{(n)})=P(X_{(n)}>\frac{\theta}{c_n})=(1-\frac1{c_n})^n=1-\alpha

故 c_n=\frac1{1-(1-\alpha)^{\frac1n}}