Chapter 11

无偏估计 E(\hat\theta)=\theta，是对统计方法的评价。

例如，对于 X=N(\mu,\sigma^2) ，\hat\mu=\overline X 是无偏估计，意思是，对于任意 {X}，\hat\mu=\overline X，对 {X} 取平均得到 E(\hat\mu)，其正好等于理论的 \mu. 故该方法是无偏估计。

例 6.16

E(a\overline X_1 +b\overline X_2+c\overline X_3)=a\mu+b\mu+c\mu=\mu, 故 a\overline X_1 +b\overline X_2+c\overline X_3 是对 \mu 的无偏估计。

(2)

Var(a\overline X_1+b\overline X_2+c\overline X_3)=(a^2n_1+b^2n_2+c^2n_3)\sigma^2

由拉格朗日乘子法得：an_1=bn_2=cn_3.

a=\frac{n_2n_3}{n_1n_2+n_2n_3+n_1n_3},b=\frac{n_1n_3}{n_1n_2+n_2n_3+n_1n_3},c=\frac{n_1n_2}{n_1n_2+n_2n_3+n_1n_3}

例 6.17

E(\hat\theta_1)=a_n\cdot\frac{0+\theta}2=a_n\cdot\frac\theta2

\therefore a_n=2

F(X_{(1)})=1-(1-\frac{X_{(1)}}\theta)^n

E(\hat\theta_2)=b_n\cdot E(X_{(1)})=b_n\cdot\int_0^\theta n\frac x\theta(1-\frac x\theta)^{n-1}dx=b_n\cdot\frac\theta{n+1}

\therefore b_n=n+1

F(X_{(n)})=(\frac{X_{(n)}}{\theta})^n

E(\hat\theta_3)=c_n\int_0^\theta n(\frac x\theta)^ndx=\frac n{n+1}\theta

\therefore c_n=\frac{n+1}n

(2)
Var(\hat\theta_1)=4Var(\overline X)=\frac4n\int_0^\theta (x-\frac\theta2)^2\frac{dx}\theta=\frac1{12n}\theta^2

Var(\hat\theta_2)=(n+1)^2\int_0^\theta (x-\frac\theta{n+1})^2\frac n\theta(1-\frac x\theta)^{n-1}dx=\frac n{n+2}\theta^2

Var(\hat\theta_3)=(\frac{n+1}n)^2\int_0^\theta (x-\frac{n\theta}{n+1})^2\frac {x^{n-1}}{\theta^n}dx=\frac1{(n+2)n^2}\theta^2

\hat\theta_3 最有效。

例 6.18

E(\hat\theta_1)=a_n\theta

\therefore a_n=1

F(X_{(1)})=1-(e^{-\frac1\theta x})^n

E(\hat\theta_2)=b_n\cdot\int_0^\infin x\frac n\theta(e^{-\frac x\theta})^ndx=\frac{b_n}n\theta

\therefore b_n=n

(2)

Var(\hat\theta_1)=\theta^2

Vat(\hat\theta_2)=n^2\int_0^\infin (x-\theta)^2\frac n\theta(e^{-\frac x\theta})^ndx=(n^2-2n+2)\theta^2

\hat\theta_1 更有效。

例 6.21

F(x;\theta)=\frac{x^3}{\theta^3}

F(T)=F(x;\theta)^3=\frac{x^9}{\theta^9}

f(t)=\frac{9x^8}{\theta^9}

(2)

E(aT)=a\int_0^\theta\frac{9x^9}{\theta^9}dx=\frac9{10}a\theta

\therefore a=\frac{10}9

例 6.27

(1)

P(X=0)=e^{-\lambda}

L(\lambda)=e^{-n\lambda}\frac{\lambda^{n\overline X}}{\Sigma_{i=0}^nX_i!}

\frac d{dx}lnL(\lambda)=-n+\frac{n\overline X}\lambda

\hat\lambda=\frac1{\overline X}

{P(X=0)}=e^{-\hat\lambda}=e^{-\frac1{\overline X}}

(2)

\hat p=e^{-\frac1{\overline X}}=e^{-0.89051}=0.4104

例 6.29

X\sim U(\theta,-\theta)

\overline{X^2}=\frac{\theta^2}3

\hat\theta_M=-\sqrt{3\overline{X^2}}

L(\theta)=\frac1{(-2\theta)^n}

\hat\theta_L=-max{X_1,X_2,\ldots,X_n}=-X_{(n)}

(2)

X\sim U(\theta,2\theta)

\hat\theta_M=\frac23\overline X

\hat\theta_L=\frac{X_{(n)}}2

例 6.32

f(x)=\lambda e^{-\lambda x}

P(\lambda<x\leq2\lambda)=e^{-\lambda^2}(1-e^{-\lambda^2})

\hat\lambda_L=\hat\lambda_M=\frac1{\overline X}

P(\lambda<x\leq2\lambda)=e^{-\hat\lambda^2}(1-e^{-\hat\lambda^2})

例 6.39

(1)

f(x)=\frac{2x}\theta e^{-\frac{x^2}\theta}

E(X)=\int_0^{\infin}e^{-\frac{x^2}\theta}dx=\frac{\sqrt{\pi\theta}}2

E(X^2)=\theta

(2)

L(\theta)=\Pi X(\frac2\theta)^n e^{-\frac{\Sigma x^2}\theta}

\frac d{d\theta}lnL(\theta)=-\frac n\theta+\frac{\Sigma_{i=1}^nX_i^2}{\theta^2}

\hat\theta=\overline{X^2}

(3)

n\rightarrow \infin 时：

\overline{X^2}=E(X^2)=\theta

故 \hat\theta \xrightarrow{P}\theta

例 6.53

\hat\theta_n=X_{(n)}

F(X_{(n)})=1-(X_{(n)}-\theta)^n

显然当 n\rightarrow\infin 时，X_{(n)}\xrightarrow{P}\theta.

故 \hat\theta_n 是 \theta 的相合估计。

例 6.54

E(\frac1{\overline X})=E(\frac n{X_1+X_2+\ldots+X_n})