例 3.11

f_X(x)=\int_0^xe^{-x}dy=xe^{-x}

f_Y(y)=\int_y^\infin e^{-x}dx=e^{-y}

(1)

f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\begin{cases}
\frac1x,&0<y<x \\
0,&\text{其它}
\end{cases}

(2)

\begin{align}
P(X\leq1|Y\leq1)&=\frac{P(X\leq1,Y\leq1)}{P(Y\leq1)}\
&=\frac{P(X\leq1)}{P(Y\leq1)}\
&=\frac{1-\frac2e}{1-\frac1e}\
&=\frac{e-2}{e-1}
\end{align}

例 3.13

f(x,y)=\begin{cases}
Ax^2,& 0<|x|<y<1 \
0,& \text{其它}
\end{cases}

f_Y(y)=\int_{-y}^yAx^2dx=\frac23Ay^3

\int_0^1f_y(y)dy=\frac16A=1\Rightarrow A=6

P(X<0.25|Y=0.5)=\frac{\int_{-0.5}^{0.25}f(x,0.5)dx}{f_Y(0.5)}=\frac{9}{16}

例 3.14

f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}

F(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infin}^xe^{-\frac{t^2}2}dt

G(z)=\begin{cases}
\frac1{2\sqrt{2\pi}} \int_{-\infin}^ze^{-\frac{t^2}2}dt, &z<0 \
\frac12+\frac1{2\sqrt{2\pi}} \int_{-\infin}^ze^{-\frac{t^2}2}dt, &z\geq0
\end{cases}

例 3.17

(1)

f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)=\begin{cases}
\frac{9y^2}x, &0<y<x<1 \
0,&\text{其它}
\end{cases}

(2)

f_Y(y)=\int_y^1f(x,y)dx=-9y^2lny (0<y<1)

例 3.19

f_X(x)=e^{-x}

P(y=i|x=\lambda)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!}=\frac{e^{-x}x^y}{y!}

\begin{align}
P(y=i)&=\int_{x=0}^\infin\frac{e^{-x}x^y}{y!}\cdot e^{-x}dx\
&=\int_{x=0}^\infin\frac{e^{-x}x^y}{y!2^{y+1}}dx\
&=\frac1{2^{y+1}}
\end{align}

例 3.27

f(x,t)=\frac{2e^{-x-\frac{t^2}2}}{\sqrt{2\pi}}

例 3.30

f(x,y)=\begin{cases}
\frac12e^{-\frac y2} &0<x<1,y>0\
0 &\text{其它}
\end{cases}

(2)

题目条件等价于 X^2>Y, 即 X>\sqrt Y

\therefore P(X^2>Y)=\int_0^1(1-\sqrt Y)\cdot\frac12e^{-\frac y2}dy=0.144376

例 3.34

易知 Z_n 满足 {0,1,2,\ldots,K-1} 上的均匀分布。

当 Z_1=z_1,Z_2=z_2 时，z_2-z_1\equiv Y\pmod K

故 Y 取唯一值，同时 X 取唯一值。此时 Z_i (i>2) 为单点分布。故 Z_n 不独立。

接下来考虑 P(Z_b=z_b|Z_a=z_a). 不妨设 b>a. 记 a-b 与 K 的最小公倍数为 c=(a-b,K). 则 P(Z_b=z_b, Z_a=z_a)=\frac c {K^2}. 故 P(Z_b=z_b|Z_a=z_a)=\frac{P(Z_b=z_b,Z_a=z_a)}{P(Z_a=z_a)}=\frac c K. 所以，当且仅当 b-a 与 K 互质时 Z_a 与 Z_b 独立。

例 3.36

(1)

f(x,y)=\frac12 (|x|+|y|\leq1)

f_X(x)=1-|x|,f_Y(y)=1-|y|

(2)

f(\frac23,\frac23)=0\neq f_X(\frac23)f_Y(\frac23)

X,Y 不相互独立

(3)

f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{1}{2(1-x)}

例 3.42

f_{x|yz}(x,y,z)=\frac{1-sinxsinysinz}{\int_0^{2\pi}(1-sinxsinysinz)dx}=\frac{1-sinxsinysinz}{2\pi}