Chapter 4

例 2.42

记 Y 的分布函数为 G(y), 概率密度为 g(y), X 的概率密度为 f(x)

则 \frac{dy}{dx}=F^\prime(x)=f(x)

g(y)=f(x)\cdot\frac1{\frac{dy}{dx}}=1 (0<y<1)

故 Y 满足 (0,1) 上的均匀分布。

例 2.46

f(x)=\lambda e^{-\lambda x} (x>0)

p(y)=f(x)\frac{dx}{dy}=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda y}&y\geq1 \\
\lambda e^{-\lambda x}\cdot\frac1{-2x}=\frac{\lambda e^{\lambda\sqrt y}}{2\sqrt y}&-1<y<0
\end{cases}

例 2.48

\int_0^3f(x)dx=1 \Rightarrow a=9

g(y)=f(x)\cdot\frac{dx}{dy}=\frac{y^2}9 (1<y<2)

(2)

P(X\leq Y)=P(X\leq 2)=\int_0^2f(x)dx=\frac8{27}

例 3.5

P(X=-1)=0.2+a

P(X+Y=0)=a+b=0.5

P(X=-1,X+Y=0)=a

由于 {X = −1} 和 {X +Y = 0} 相互独立，故

P(X=-1,X+Y=0)=P(X+Y=0)\cdot P(X=-1) \Rightarrow a=0.2

\therefore b=0.3

例 3.8

由于 \rho=0, 故 X,Y 相互独立。

P(XY-Y<0)=P(Y(X-1)<0)=P(Y<0)P(X-1>0)+P(Y>0)P(X-1<0)=\frac12

例 3.10

可见 X,Y 相互独立。

f_1(x)=\int_0^{\frac\pi2}f(x,y)dy=cosx

f_2(y)=\int_0^{\frac\pi2}f(x,y)dx=cosy

F(x,y)=G(x)G(y), 其中

G(t)=\begin{cases}
sint&0<t<\frac\pi2 \\
1&t\geq\frac\pi2 \\
0&t\leq0
\end{cases}

(2)

P(0

例 3.16

(1)

\iint_{x^2+y^2<R^2}f(x,y)dxdy=\int_0^Rc(R-r)\cdot2rdr=c\cdot\frac13R^3=1

\therefore c=\frac3{R^3}

(2)

P(x^2+y^2\leq r^2)=\iint_{x^2+y^2\leq r^2}f(x,y)dxdy=\frac{r^3}{R^3}

例 3.23

易知 X,Y 相互独立

P(U=0,V=0)=\frac14

P(U=0,V=1)=0

P(U=1,V=0)=\frac14

P(U=1,V=1)=\frac12