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分类： 概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业 markdown 文档的多终端编辑平台

  • Chapter 2

    • ## 例1.26

    (1)

    P(\text{次品})=\frac12\cdot1\%+\frac13\cdot1\%+\frac16\cdot2\%=1.167\%

    (2)

    %~~~~P(\text{一号车间}|\text{次品}) = \frac{P(\text{一号车间}) \cdot P(\text{次品}|\text{一号车间})}{P(\text{次品})} = \frac{0.5 \% }{1.167 \% } = \frac37

    例1.30

    P(\text{真阴性})=90\%\times0.99=89.1\%

    P(\text{真阳性})=10\%\times0.95=9.5\%

    P(\text{假阳性})=90\%\times0.01=0.9\%

    P(\text{假阴性})=10\%\times0.05=0.5\%

    (1)

    %P(\text{真阳性}|\text{阳性})=\frac{9.5\%}{9.5\%+0.9\%}=91.3\%

    (2)

    %P=\frac{9.5\%^2}{9.5\%^2+0.9\%^2}=99.1\%

    例1.36

    P(A\cup B)=0.12, P(A\cap B)=0.1

    P(A)+P(B)=P(A\cup B)-P(A\cap B)=0.02

    显然不能满足 P(A)P(B)=P(AB)

    故 A, B 一定不独立。

    例1.37

    P(A)=P(A|C)P(C)+P(A|\overline C)P(\overline C)=0.55

    P(B)=P(B|C)P(C)+P(B|\overline C)P(\overline C)=0.55

    P(AB)=P(AB|C)P(C)+P(AB|\overline C)P(\overline C)=0.425

    可见 P(AB)\neq P(A)P(B)

    故 A, B 不独立

    例题1.39

    (1) P_1 = p_A p_B p_C

    (2) P_2 = 1-(1-p_A)(1-p_B)(1-p_C)=p_A+p_B+p_C-p_Ap_B-p_Ap_C-p_Bp_C+p_Ap_Bp_C
    (3)P_3=1-(1-p_A^2)(1-p_B^2)(1-p_C^2)=p_A^2+p_B^2+p_C^2-p_A^2p_B^2-p_A^2p_C^2-p_B^2p_C^2+p_A^2p_B^2p_C^2(4)P_4=p_D^2(1-(1-p_A)(1-p_B)(1-p_C))=p_D^2(p_A+p_B+p_C-p_Ap_B-p_Ap_C-p_Bp_C+p_Ap_Bp_C)(5)P_5=p_Ap_B+p_Ap_B-p_A^2p_B^2+2\cdot p_C \cdot p_A(1-p_A)p_B(1-p_B)$

    例 2.6

    P(X=1)=\frac45

    P(X=2)=\frac15\cdot\frac89=\frac8{45}

    P(X=3)=\frac15\cdot\frac19=\frac1{45}

    P(X\leq1)=\frac45

    P(X\leq2)=\frac45+\frac8{45}=\frac{44}{45}

    P(X\leq3)=1

    F(x)=

    屏幕截图 2026-03-21 215524.jpg

    例 2.9

    (1)

    P(0A)=0.7^4=0.2401

    P(1A)=0.7^3\times0.3\times 4=0.4116

    P(2+A)=1-P(0A)-P(1A)=0.3483

    P(B)=0.6P(1A)+P(2A)=0.59526

    (2)

    P(1A|B)=\frac{P(B|1A)P(1A)}{P(B)}=0.41488

    例 2.10

    p_4=0.6^4=0.130

    p_5=0.6^4\times0.4\times C^3_4=0.207 （最后一场必为甲胜）

    p_6=0.6^4\times0.4^2\times C^3_5=0.207

    p_7=0.6^4\times0.4^3\times C^3_6=0.166

    p_4+p_5+p_6+p_7=0.71

    甲在三局或以前以“三局两胜”制成为冠军的概率为： p’_3=3*0.6^2*0.4+0.6^3=0.648

    可见三局两胜更有利（因为需要比赛的场数越多，乙赢得甲的概率越小）

    例 2.12

    产卵 k 个的概率 p_k=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}

    \therefore P(Y=x)=\Sigma_{k=x}^\infin(p^x(1-p)^{k-x}\cdot p_k)=p^x\cdot e^{-\lambda}\cdot\Sigma_{k=0}^\infin((1-p)^k\cdot\frac{\lambda^{x+k}}{(x+k)!})

    P(Z=x)=\Sigma_{k=x}^\infin(p^{k-x}(1-p)^x\cdot p_k)=(1-p)^x\cdot e^{-\lambda}\cdot\Sigma_{k=0}^\infin(p^k\cdot\frac{\lambda^{x+k}}{(x+k)!})

    例 2.13

    易知出故障零件个数 X 满足二项分布。

    P(X=0)=b(1000,0.001,0)\approx \frac{1^0e^-1}{0!}=\frac1e

  • Chapter 1

    例1.5

    记 A, B 为订甲种、乙种报纸，则：

    P(A)=40\%

    P(B)=25\%

    P(AB)=15%

    (1) P(A-B)=P(A)-P(AB)=25\%

    (2) P(A\Delta B)=P(A)+P(B)-2\times P(AB)35\%

    (3) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=50\%

    (4) P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)=50\%

    例1.6

    P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)

    (1) 由于 P(AB)\le P(A),P(AB)\le P(B), 故 P(AB)\le 0.7, 最大值在 P(A|B)=1 时取到，即 P(A-B)=0.

    (2) 由于 P(A\cup B)\le 1, 故 P(AB)\ge 0.5. 在 P(A\cup B)=1 时 P(AB) 取到最小值 0.5.

    例1.8

    P(ABC)\le P(AC)=0, 故 P(ABC)=0.

    P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=\frac34

    例1.17

    简单起见假设公交车在 3:00 与 4:00 各发出一辆车，则：

    P(\text{乘一辆车})=4\times \frac14 \times \frac14=\frac14

    例1.24

    (1) P(\text{第一次取到的零件是一等品})=\frac12 \times\frac{10}{50} + \frac12 \times \frac{18}{30}=0.4

    (2)

    P(\text{第一、二次取到的都是一等品的概率})=\frac12 \times\frac{10}{50} \times\frac{9}{49} + \frac12 \times \frac{18}{30} \times\frac{17}{29}=\frac{276}{1421}

    P(\text{第一次取到的零件是一等品}|\text{第一、二次取到的都是一等品的概率})=\frac{276}{1421} \div 0.4 = \frac{690}{1421}

    例1.25

    P=\frac{r}{r+b}\cdot\frac{r+a}{r+b+a}\cdot\frac{b}{r+b+2a}\cdot\frac{b+a}{r+b+3a}=\frac{rb(r+a)(b+a)}{(r+b)(r+a+b)(r+2a+b)(r+3a+b)}

    例1.28

    (1) P(\text{girl})=\frac13\times(\frac3{10}+\frac7{15}+\frac5{25})=\frac{29}{90}

    (2) 由于 P(\text{女男}|\text{x男})=\frac{P(\text{女男})}{P(\text{女男})+P(\text{男男})}

    即：

    P(\text{先抽到的1份是女生报名表}|\text{后抽到的1份是男生报名表})=
    \frac{P(\text{后抽到的1份是男生报名表}|\text{先抽到的1份是女生报名表})\cdot P(\text{先抽到的1份是女生报名表})}
    {P(\text{后抽到的1份是男生报名表}|\text{先抽到的1份是女生报名表})\cdot P(\text{先抽到的1份是女生报名表})+
    P(\text{后抽到的1份是男生报名表}|\text{先抽到的1份是男生报名表})\cdot P(\text{先抽到的1份是男生报名表})}

    \therefore P=\frac{\frac13(\frac3{10}\cdot\frac79+\frac7{15}\cdot\frac{8}{14}+\frac5{25}\cdot\frac{20}{24})}
    {\frac13(\frac3{10}\cdot\frac79+\frac7{15}\cdot\frac{8}{14}+\frac5{25}\cdot\frac{20}{24})+
    \frac13(\frac7{10}\cdot\frac69+\frac8{15}\cdot\frac{7}{14}+\frac{20}{25}\cdot\frac{19}{24})}=\frac{20}{61}

    例1.29

    P(\text{扔0红摸红})=\frac{1}{C_{25}^5}=\frac1{53130}

    P(\text{扔1红摸红})=\frac{C_{20}^1\cdot C_{5}^4}{C_{25}^5}\cdot \frac{19}{20}=\frac{95}{53130}

    P(\text{扔2红摸红})=\frac{C_{20}^2\cdot C_{5}^3}{C_{25}^5}\cdot \frac{18}{20}=\frac{1710}{53130}

    P(\text{扔3红摸红})=\frac{C_{20}^3\cdot C_{5}^2}{C_{25}^5}\cdot \frac{17}{20}=\frac{9690}{53130}

    P(\text{扔4红摸红})=\frac{C_{20}^4\cdot C_{5}^1}{C_{25}^5}\cdot \frac{16}{20}=\frac{19380}{53130}

    P(\text{扔5红摸红})=\frac{C_{20}^5}{C_{25}^5}\cdot \frac{15}{20}=\frac{11628}{53130}

    P(\text{扔掉至少两个红球}|\text{摸出红球})=\frac{1767}{1771}