例 2.19
P(X=-1)=\frac18
由于 lim_{x\rightarrow -1^+}F(x)=\frac18
\therefore b-a=\frac18
lim_{x\rightarrow1^-}=F(1)-P(X=1)=\frac34
\therefore b+a=\frac34
\Rightarrow b=\frac7{15}, a=\frac5{15}
例 2.20
\int_1^2f(x)dx=\int_2^3f(x)dx
\Rightarrow 1.5a=b
又 \int_{-\infin}^{\infin}f(x)dx=1
\therefore a=\frac13,b=\frac12
例 2.21
\int_{-\infin}^{\infin}f(x)dx=a\pi
a=\frac1\pi
F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(x)dx=\frac12+\frac{arctan(x)}\pi
P(|X|<1)=\int_{-1}^{1}f(x)dx=F(1)-F(-1)=\frac12
例 2.23
由于 X 连续，故 F 连续
\Rightarrow b+1=0, ea+eb+1=1
\Rightarrow a=1,b=-1
F(x)=xlnx-x+1f(x)=F^\prime (x)=lnx(1<x<e)$
例 2.26
P(X>2)=\frac23
P(\text{至少两次观测值大于}2)=\frac23^3+3\times\frac23^2\times\frac13=\frac{20}{27}
例 2.29
P(t>10)=\int_{10}^\infin\frac15e^{-\frac15x}dx=e^{-2}
P(\text{至少有一次未接受服务而离开})=1-(1-e^{-2})^5=0.516676
例 2.31
f(x)=\frac1{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-1)^2}{8}}
P(0<X<4)=0.6247
P(X>2.4)=0.2420
P(|X|>2)=0.3753
c\approx0.1386
例 2.36
| $X$ | $P$ |
|---|---|
| -1 | 0.2 |
| 0 | 0.3 |
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.4 |
Y_1=-2X+1
| $Y_1$ | $P$ |
|---|---|
| 3 | 0.2 |
| 1 | 0.3 |
| -1 | 0.1 |
| -3 | 0.4 |
Y_2=|X|
| $Y_2$ | $P$ |
|---|---|
| 1 | 0.3 |
| 0 | 0.3 |
| 2 | 0.4 |
Y_3=(X-1)^2
| $Y_3$ | $P$ |
|---|---|
| 4 | 0.2 |
| 1 | 0.7 |
| 0 | 0.1 |
例 2.37
(1)
F(-\infin)=0,F(\infin)=1\Rightarrow a=\frac12,b=\frac1\pi
(2)
f(x)=F^\prime(x)=\frac1{\pi(x^2+1)}
p(y)=f(x)\cdot\frac{dx}{dy}=\frac1{\pi(x^2+1)}\cdot\frac13x^{-\frac23}
\Rightarrow p(y)=\frac{1}{3\pi((3-y)^6+1)(3-y)^2}
(3)
记 Z=\frac1X. 故 \frac{dx}{dz}=-\frac1{z^2}
f_Z(z)=\frac1{\pi(z^{-2}+1)}\cdot(-\frac1{z^2})=\frac1{\pi(z^2+1)}
故 X 与 \frac1X 分布律相同。
例 2.40
(1)
Y_1=e^X,X=ln Y_1,\frac{dx}{dy_1}=\frac1{y_1}
p_1(y)=\frac1y (1<y<e)
(2)
Y_2=X^{-1},X=\frac1{Y_2},\frac{dx}{dy_2}=-\frac{1}{y_2^2}
p_2(y)=-\frac{1}{y^2} (y>1)
(3)
Y_3=-\frac1\lambda lnX,X=e^{-\lambda Y_3},\frac{dx}{dy_3}=-\lambda e^{-\lambda Y_3}
p_3(y)=-\lambda e^{-\lambda y} (-\frac e\lambda<y<-\frac1\lambda)
