Chapter 1

例1.5

记 A, B 为订甲种、乙种报纸，则：

P(A)=40\%

P(B)=25\%

P(AB)=15%

(1) P(A-B)=P(A)-P(AB)=25\%

(2) P(A\Delta B)=P(A)+P(B)-2\times P(AB)35\%

(3) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=50\%

(4) P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)=50\%

例1.6

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)

(1) 由于 P(AB)\le P(A),P(AB)\le P(B), 故 P(AB)\le 0.7, 最大值在 P(A|B)=1 时取到，即 P(A-B)=0.

(2) 由于 P(A\cup B)\le 1, 故 P(AB)\ge 0.5. 在 P(A\cup B)=1 时 P(AB) 取到最小值 0.5.

例1.8

P(ABC)\le P(AC)=0, 故 P(ABC)=0.

P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=\frac34

例1.17

简单起见假设公交车在 3:00 与 4:00 各发出一辆车，则：

P(\text{乘一辆车})=4\times \frac14 \times \frac14=\frac14

例1.24

(1) P(\text{第一次取到的零件是一等品})=\frac12 \times\frac{10}{50} + \frac12 \times \frac{18}{30}=0.4

(2)

P(\text{第一、二次取到的都是一等品的概率})=\frac12 \times\frac{10}{50} \times\frac{9}{49} + \frac12 \times \frac{18}{30} \times\frac{17}{29}=\frac{276}{1421}

P(\text{第一次取到的零件是一等品}|\text{第一、二次取到的都是一等品的概率})=\frac{276}{1421} \div 0.4 = \frac{690}{1421}

例1.25

P=\frac{r}{r+b}\cdot\frac{r+a}{r+b+a}\cdot\frac{b}{r+b+2a}\cdot\frac{b+a}{r+b+3a}=\frac{rb(r+a)(b+a)}{(r+b)(r+a+b)(r+2a+b)(r+3a+b)}

例1.28

(1) P(\text{girl})=\frac13\times(\frac3{10}+\frac7{15}+\frac5{25})=\frac{29}{90}

(2) 由于 P(\text{女男}|\text{x男})=\frac{P(\text{女男})}{P(\text{女男})+P(\text{男男})}

即：

P(\text{先抽到的1份是女生报名表}|\text{后抽到的1份是男生报名表})=
\frac{P(\text{后抽到的1份是男生报名表}|\text{先抽到的1份是女生报名表})\cdot P(\text{先抽到的1份是女生报名表})}
{P(\text{后抽到的1份是男生报名表}|\text{先抽到的1份是女生报名表})\cdot P(\text{先抽到的1份是女生报名表})+
P(\text{后抽到的1份是男生报名表}|\text{先抽到的1份是男生报名表})\cdot P(\text{先抽到的1份是男生报名表})}

\therefore P=\frac{\frac13(\frac3{10}\cdot\frac79+\frac7{15}\cdot\frac{8}{14}+\frac5{25}\cdot\frac{20}{24})}
{\frac13(\frac3{10}\cdot\frac79+\frac7{15}\cdot\frac{8}{14}+\frac5{25}\cdot\frac{20}{24})+
\frac13(\frac7{10}\cdot\frac69+\frac8{15}\cdot\frac{7}{14}+\frac{20}{25}\cdot\frac{19}{24})}=\frac{20}{61}

例1.29

P(\text{扔0红摸红})=\frac{1}{C_{25}^5}=\frac1{53130}

P(\text{扔1红摸红})=\frac{C_{20}^1\cdot C_{5}^4}{C_{25}^5}\cdot \frac{19}{20}=\frac{95}{53130}

P(\text{扔2红摸红})=\frac{C_{20}^2\cdot C_{5}^3}{C_{25}^5}\cdot \frac{18}{20}=\frac{1710}{53130}

P(\text{扔3红摸红})=\frac{C_{20}^3\cdot C_{5}^2}{C_{25}^5}\cdot \frac{17}{20}=\frac{9690}{53130}

P(\text{扔4红摸红})=\frac{C_{20}^4\cdot C_{5}^1}{C_{25}^5}\cdot \frac{16}{20}=\frac{19380}{53130}

P(\text{扔5红摸红})=\frac{C_{20}^5}{C_{25}^5}\cdot \frac{15}{20}=\frac{11628}{53130}

P(\text{扔掉至少两个红球}|\text{摸出红球})=\frac{1767}{1771}