Chapter 9

例 4.42

X_n \xrightarrow{P} X\Rightarrow \forall\epsilon>0, lim_{n\rightarrow\infin}P(|X_n-X|>\epsilon)=0

Y_n \xrightarrow{P} Y\Rightarrow \forall\epsilon>0, lim_{n\rightarrow\infin}P(|Y_n-Y|>\epsilon)=0

\therefore\forall\epsilon_0>0,\forall n,P(|X_n-X+Y_n-Y|>\epsilon_0)<P(|X_n-X|+|Y_n-Y|<\epsilon_0)

又对 \epsilon=\frac{\epsilon_0}2, lim_{n\rightarrow\infin}P(|X_n-X|>\epsilon)=0, lim_{n\rightarrow\infin}P(|Y_n-Y|>\epsilon)=0

\therefore lim_{n\rightarrow\infin}P(|X_n-X|+|Y_n-Y|<\epsilon_0)=0\Rightarrow lim_{n\rightarrow\infin}P(|X_n-X+Y_n-Y|>\epsilon_0)=0

即 X_n+Y_n\xrightarrow{P}X+Y

例 4.43

设 X_n\sim Ge(\frac{\lambda}n) 为一随机变量序列，\lambda>0 为常数，定义 Y_n=\frac1nX_n, 求证 Y_n 依分布收敛于 Y\sim Exp(\lambda).

F_{X_n}(k)=1-(1-\frac{\lambda}n)^{\lfloor k\rfloor}

F_{Y_n}(k)=1-(1-\frac{\lambda}n)^{\lfloor nk\rfloor}

lim_{n\rightarrow\infin}F_{Y_n}(k)=e^{-\lambda k}

故 Y_n\xrightarrow{\mathcal L}Y

例 4.45

A\sim B(1,0.2)

E(A)=0.2, Var(A)=0.2\times0.8=0.16

记 A 发生的次数为 S. 由中心极限定理可知 S\sim N(100,80).

故 P(80\leq S\leq120)=P(|S-100|<20)=1-\frac{80}{20^2}=0.8

例 4.46

设 X_1,X_2,X_3,\ldots 为一列独立同分布的随机变量，满足 E(X_i^k) = \alpha_k, k = 1,2,3,4, 利用中心极限定理说明 \Sigma_{i=1}^nX_i^2 的渐近分布是什么.

Var(X_i^2)=\alpha_4-\alpha_2^2

由中心极限定理，\Sigma_{i=1}^nX_i^2\sim N(n\alpha_1,n(\alpha_4-\alpha_2^2))

例 4.48

(1)

记正常工作的部件数量为 X.

则 X\sim B(100,0.9)

P(X\geq85)\approx1-\Phi(\frac53)=0.9522(2)

记正常工作的部件数量为X.

则X\sim B(n,0.9)%N(0.9n, 0.09n)P(X\geq0.8n)=1-\Phi(\frac{0.1n}{0.3\sqrt n})>0.95n\geq24.35即n\geq 25$.

例 4.49

记每次取款额度为 X, 总额度为 S

则 E(X)=5.5, Var(X)=8.25

\therefore S\sim N(1100,1650)

S_{0.95}=1100+1.645\sqrt{1650}=1166.8 （百元）

例 4.52

盈利 200 万元即赔款 S 少于 1000 万元（10000k 元）。

记车辆的赔偿额度为 A, 赔偿次数为 B，总额为 C

则 A\sim U(1000,5000)

B\sim P(2)

C=\Sigma_{i=1}^BA_i

E(C)=E(A)E(B)=6000

Var(C)=E(B)Var(A)+E^2(A)Var(B)=20666.7

\therefore S\sim N(14400 000, 49600 000 000)%var=222711

P(S>10000 000)\approx 1