Chapter 8

例 4.15

f(x)=\frac1{\pi} (|x|<\frac{\pi}2)

E(sinX)=\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}sinxf(x)dx=0

E(cosX)=\frac{2}{\pi}

E(XcosX)=0

例 4.16

(1)

E(sgn^2(X))=1

E(sgn(X))=-0.5

Var(sgn(X))=E(sgn(X))^2-E(sgn^2(X))=0.75

E(Xsgn(X))=E(|X|)=\frac2{2\pi}\int_0^{\infin}e^{-\frac{x^2}2}xdx=\frac1{\pi}

例 4.20

看不懂什么是《相同的小球》，暂且理解为不同的小球。

P(X_a=b)=C_m^b\cdot p_a^b\cdot(1-p_a)^{m-b}

p’_2=\frac{p_2}{1-p_1}

P(X_2=x|X_1=k)=C_{m-k}^x p’_2{}^x(1-p’_2)^{m-k-x}

E(X_2|X_1=k)=\Sigma_0^{m-k}x\cdot C_{m-k}^x p’_2{}^x(1-p’_2)^{m-k-x}\=(m-k)\cdot\frac{p_2}{1-p_1}

Var(X_2|X_1=k)=(m-k)\cdot\frac{p_2}{1-p_1}\cdot\frac{1-p_1-p_2}{1-p_1}

E(X_1+X_2)=m(p_1+p_2)

Var(\Sigma_{i=1}^kX_i)=m(\Sigma_{i=1}^kp_i)(1-\Sigma_{i=1}^kp_i)

例 4.26

E(X_1+X_2+X_3)=0

E((X_1+X_2+X_3)^2)=E(X_1^2+X_2^2+X_3^2)+2E(X_1X_2)+2E(X_2X_3)+2E(X_3X_1)=1

Var(X_1+X_2+X_3)=1

法二：

0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq2\pi

\begin{align}
E(&(cosx+sinxcosy+sinxsiny)^2)\
=E(&(cosx+\sqrt2sinxsin(y+\frac{\pi}4))^2)\
=E(&1+\sqrt2cosxsinxsin(y+\frac{\pi}4)\
&+sin^2x(2sin^2(y+\frac{\pi}4)-1))\
=1&+E(sin^2x)(2E(sin^2(y+\frac{\pi}4))-1)\
=1&
\end{align}

Var(X_1+X_2+X_3)=1

例 4.32

Cov(\alpha X+\beta Y,\alpha X-\beta Y)=\alpha^2Var(X)-\beta^2Var(Y)=(\alpha^2-\beta^2)\sigma^2

当 |\alpha|=|\beta| 时两变量独立。

例 4.33

存在，\alpha=\beta=1

由于上题并不要求 Cov(X,Y)=0, 故结论在本题仍然成立。

类似的题在先前的作业中也有过。

例 4.36

Var(Z)=Cov(Z,Z)=(\pi^2+(1-\pi^2)+2\pi(1-\pi)\rho_{X,Y})\sigma^2<\sigma^2

由对称性，\pi=0.5 时风险最小。

例 4.37

\begin{align}
&Cov(X_1,E(X_2|X_1))\
=&E([X_1-E(X_1)][E(X_2|X_1)-E_{X_1}(E(X_2|X_1))])\
=&\int_{X_1}[X_1-E(X_1)][E(X_2|X_1)-E(X_2)]f_{X_1}(x)dx\
=&\int_{X_1}[X_1-E(X_1)][E(X_2)-E(X_2)]f_{X_1}(x)dx\
=&Cov(X_1,X_2)
\end{align}

例 4.39

E(S|N=n)=\frac np

Var(S|N=n)=\frac{n(1-p)}{p^2}

P(N=m)=C_n^mq^m(1-q)^{n-m}

E(S)=\Sigma_{i=0}^nC_n^iq^i(1-q)^{n-i}\frac ip=\frac{E(N)}p=\frac{nq}p

\begin{align}
Var(S)&=E((S^2-E(S))^2)\
&=E(S^2)-E(S)^2\
&=\Sigma_{m=0}^n[P(N=m)E(S^2|N=m)]-E(S)^2\
&=\Sigma_{m=0}^n[P(N=m)(E(S|N=m)^2+Var(S|N=m))]-E(S)^2\
&=\Sigma_{m=0}^n[C_n^mq^m(1-q)^{n-m}\frac{m^2+m-mp}{p^2}]-\frac{n^2q^2}{p^2}\
&=\frac1{p^2}(E(N^2)+(1-p)E(N))-\frac{n^2q^2}{p^2}\
&=\frac1{p^2}(n^2q^2+nq-nq^2+(1-p)nq)-\frac{n^2q^2}{p^2}\
&=\frac {nq}{p^2}(2-p-q)
\end{align}

例 4.40

E_t(N)=Var_t(N)=\lambda t

E(N(T))=E(\lambda t)=\lambda a

Cov(T,N(t))=E(TN)-E(T)E(N)

E(TN(t))=E(T\cdot E_t(N))=E(T\cdot\lambda T)

\therefore Cov(T,N(t))=\lambda E(T^2)-E(T)\lambda a=\lambda Var(T)=\lambda b

(2)

Var(N)=E(Var_t(N))+Var(E_t(N))=\lambda a+\lambda b