Chapter 3

例 2.19

P(X=-1)=\frac18

由于 lim_{x\rightarrow -1^+}F(x)=\frac18

\therefore b-a=\frac18

lim_{x\rightarrow1^-}=F(1)-P(X=1)=\frac34

\therefore b+a=\frac34

\Rightarrow b=\frac7{15}, a=\frac5{15}

例 2.20

\int_1^2f(x)dx=\int_2^3f(x)dx

\Rightarrow 1.5a=b

又 \int_{-\infin}^{\infin}f(x)dx=1

\therefore a=\frac13,b=\frac12

例 2.21

\int_{-\infin}^{\infin}f(x)dx=a\pi

a=\frac1\pi

F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(x)dx=\frac12+\frac{arctan(x)}\pi

P(|X|<1)=\int_{-1}^{1}f(x)dx=F(1)-F(-1)=\frac12

例 2.23

由于 X 连续，故 F 连续

\Rightarrow b+1=0, ea+eb+1=1

\Rightarrow a=1,b=-1

F(x)=xlnx-x+1f(x)=F^\prime (x)=lnx(1<x<e)$

例 2.26

P(X>2)=\frac23

P(\text{至少两次观测值大于}2)=\frac23^3+3\times\frac23^2\times\frac13=\frac{20}{27}

例 2.29

P(t>10)=\int_{10}^\infin\frac15e^{-\frac15x}dx=e^{-2}

P(\text{至少有一次未接受服务而离开})=1-(1-e^{-2})^5=0.516676

例 2.31

f(x)=\frac1{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-1)^2}{8}}

P(0<X<4)=0.6247

P(X>2.4)=0.2420

P(|X|>2)=0.3753

c\approx0.1386

例 2.36

$X$	$P$
-1	0.2
0	0.3
1	0.1
2	0.4

Y_1=-2X+1

$Y_1$	$P$
3	0.2
1	0.3
-1	0.1
-3	0.4

Y_2=|X|

$Y_2$	$P$
1	0.3
0	0.3
2	0.4

Y_3=(X-1)^2

$Y_3$	$P$
4	0.2
1	0.7
0	0.1

例 2.37

(1)

F(-\infin)=0,F(\infin)=1\Rightarrow a=\frac12,b=\frac1\pi

(2)

f(x)=F^\prime(x)=\frac1{\pi(x^2+1)}

p(y)=f(x)\cdot\frac{dx}{dy}=\frac1{\pi(x^2+1)}\cdot\frac13x^{-\frac23}

\Rightarrow p(y)=\frac{1}{3\pi((3-y)^6+1)(3-y)^2}

(3)

记 Z=\frac1X. 故 \frac{dx}{dz}=-\frac1{z^2}

f_Z(z)=\frac1{\pi(z^{-2}+1)}\cdot(-\frac1{z^2})=\frac1{\pi(z^2+1)}

故 X 与 \frac1X 分布律相同。

例 2.40

(1)

Y_1=e^X,X=ln Y_1,\frac{dx}{dy_1}=\frac1{y_1}

p_1(y)=\frac1y (1<y<e)

(2)

Y_2=X^{-1},X=\frac1{Y_2},\frac{dx}{dy_2}=-\frac{1}{y_2^2}

p_2(y)=-\frac{1}{y^2} (y>1)

(3)

Y_3=-\frac1\lambda lnX,X=e^{-\lambda Y_3},\frac{dx}{dy_3}=-\lambda e^{-\lambda Y_3}

p_3(y)=-\lambda e^{-\lambda y} (-\frac e\lambda<y<-\frac1\lambda)